Розв'яжіть 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Розкласти на множники

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 3z^{2}+az+bz-5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -15.

$$-1,15 -3,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 14.

$$a=-1 b=15$$

Перепишіть 3z^{2}+14z-5 як \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

z на першій та 5 в друге групу.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3z-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 14 до квадрата.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Додайте 196 до 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-14±16}{6} за додатного значення ±. Додайте -14 до 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{6} до нескоротного вигляду.

$$z=\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-14±16}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Розділіть -30 на 6.

$$z=-5$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{3} на x_{1} та -5 на x_{2}.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Щоб відняти z від \frac{1}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Відкиньте 3, тобто найбільший спільний дільник для 3 й 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Обчислити

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$