Розв'яжіть 3y^2-y-4=0

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Знайдіть y

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3y^{2}+ay+by-4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-4 b=3$$

Перепишіть 3y^{2}-y-4 як \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Винесіть за дужки y в 3y^{2}-4y.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Винесіть за дужки спільний член 3y-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3y-4=0 та y+1=0.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -1 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Додайте 1 до 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{1±7}{6} за додатного значення ±. Додайте 1 до 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{8}{6} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{1±7}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Розділіть -6 на 6.

$$y=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Якщо відняти -4 від самого себе, залишиться 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Відніміть -4 від 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Поділіть -\frac{1}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{6}. Потім додайте -\frac{1}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Щоб додати \frac{4}{3} до \frac{1}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Розкладіть y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Додайте \frac{1}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$