Розв'яжіть 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Знайдіть y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1,369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1,70325741$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 1 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Додайте 1 до 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{85} від -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Поділіть \frac{1}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{6}. Потім додайте \frac{1}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Щоб додати \frac{7}{3} до \frac{1}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Розкладіть y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Відніміть \frac{1}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$