Розв'яжіть 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Знайдіть x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x-5y=4$$

Додайте 5y до обох сторін цього рівняння.

$$3x=5y+4$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Підставте \frac{5y+4}{3} замість x в іншому рівнянні: 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Помножте 9 на \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Додайте 15y до -2y.

$$13y+12=7$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$13y=-5$$

Розділіть обидві сторони на 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Підставте -\frac{5}{13} замість y у рівняння x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Щоб помножити \frac{5}{3} на -\frac{5}{13}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Щоб додати \frac{4}{3} до -\frac{25}{39}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{9}{13}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Щоб отримати рівність між 3x і 9x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 9, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Виконайте спрощення.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Знайдіть різницю 27x-6y=21 і 27x-45y=36. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Додайте 27x до -27x. Члени 27x та -27x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-45y+6y=36-21$$

Додайте -45y до 6y.

$$-39y=36-21$$

Додайте 36 до -21.

$$-39y=15$$

Розділіть обидві сторони на -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Підставте -\frac{5}{13} замість y у рівняння 9x-2y=7. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Помножте -2 на -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Відніміть \frac{10}{13} від обох сторін цього рівняння.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$