Розв'яжіть 3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

Знайдіть x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+1 на y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Щоб знайти протилежне виразу ky+y, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x-ky-y=20$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Розгляньте друге рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+2 на x.

$$kx+2x-10y=40$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Додайте \left(k+1\right)y до обох сторін цього рівняння.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Підставте \frac{yk+y+20}{3} замість x в іншому рівнянні: \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Помножте k+2 на \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Додайте \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} до -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Відніміть \frac{40+20k}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Розділіть обидві сторони на \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Підставте -\frac{20}{7+k} замість y у рівняння x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Помножте \frac{k+1}{3} на -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Додайте \frac{20}{3} до -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+1 на y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Щоб знайти протилежне виразу ky+y, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x-ky-y=20$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Розгляньте друге рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+2 на x.

$$kx+2x-10y=40$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+1 на y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Щоб знайти протилежне виразу ky+y, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x-ky-y=20$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Розгляньте друге рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+2 на x.

$$kx+2x-10y=40$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Щоб отримати рівність між 3x і \left(k+2\right)x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на k+2, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Виконайте спрощення.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Знайдіть різницю \left(3k+6\right)x-30y=120 і \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Додайте 3\left(2+k\right)x до -6x-3xk. Члени 3\left(2+k\right)x та -6x-3xk відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Додайте -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y до 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Додайте 20k+40 до -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Розділіть обидві сторони на \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Підставте -\frac{20}{7+k} замість y у рівняння \left(k+2\right)x-10y=40. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Помножте -10 на -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Відніміть \frac{200}{7+k} від обох сторін цього рівняння.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Розділіть обидві сторони на k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Знайдіть x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+1 на y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Щоб знайти протилежне виразу ky+y, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x-ky-y=20$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Розгляньте друге рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+2 на x.

$$kx+2x-10y=40$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Додайте \left(k+1\right)y до обох сторін цього рівняння.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Підставте \frac{yk+y+20}{3} замість x в іншому рівнянні: \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Помножте k+2 на \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Додайте \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} до -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Відніміть \frac{40+20k}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Розділіть обидві сторони на \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Підставте -\frac{20}{7+k} замість y у рівняння x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Помножте \frac{k+1}{3} на -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Додайте \frac{20}{3} до -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+1 на y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Щоб знайти протилежне виразу ky+y, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x-ky-y=20$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Розгляньте друге рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+2 на x.

$$kx+2x-10y=40$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+1 на y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Щоб знайти протилежне виразу ky+y, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x-ky-y=20$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Розгляньте друге рівняння. Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити k+2 на x.

$$kx+2x-10y=40$$

Зведіть усі члени, що містять x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Щоб отримати рівність між 3x і \left(k+2\right)x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на k+2, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Виконайте спрощення.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Знайдіть різницю \left(3k+6\right)x-30y=120 і \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Додайте 3\left(2+k\right)x до -6x-3xk. Члени 3\left(2+k\right)x та -6x-3xk відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Додайте -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y до 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Додайте 20k+40 до -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Розділіть обидві сторони на \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Підставте -\frac{20}{7+k} замість y у рівняння \left(k+2\right)x-10y=40. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Помножте -10 на -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Відніміть \frac{200}{7+k} від обох сторін цього рівняння.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Розділіть обидві сторони на k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$