Розв'яжіть 3x^2-x-2>0

$$3 x ^ { 2 } - x - 2 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 3 на a, -1 – на b, а -2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±5}{6}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±5}{6} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$3\left(x-1\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-1 і x+\frac{2}{3} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-1 і x+\frac{2}{3} від’ємні.

$$x-1<0 x+\frac{2}{3}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-\frac{2}{3}.

$$x<-\frac{2}{3}$$

Розглянемо випадок, коли x-1 і x+\frac{2}{3} додатні.

$$x+\frac{2}{3}>0 x-1>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>1.

$$x>1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-\frac{2}{3}\text{; }x>1$$