Розв'яжіть 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -8 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Додайте 64 до 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} за додатного значення ±. Додайте 8 до 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Розділіть 8+2\sqrt{19} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{19} від 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Розділіть 8-2\sqrt{19} на 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Поділіть -\frac{8}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{4}{3}. Потім додайте -\frac{4}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Щоб додати \frac{1}{3} до \frac{16}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Додайте \frac{4}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$