Розв'яжіть 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Знайдіть x

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx+4. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-4 b=-3$$

Перепишіть 3x^{2}-7x+4 як \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і -1 у другій групі.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 3x-4=0 і x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -7 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Додайте 49 до -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±1}{6} за додатного значення ±. Додайте 7 до 1.

$$x=\frac{8}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{8}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±1}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 1 від 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Розділіть 6 на 6.

$$x=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Поділіть -\frac{7}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{6}. Потім додайте -\frac{7}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Щоб додати -\frac{4}{3} до \frac{49}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Додайте \frac{7}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$