Розв'яжіть 3x^2-40x-128=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x - 128 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=16$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-128. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-40 ab=3\left(-128\right)=-384$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -384.

$$1,-384 2,-192 3,-128 4,-96 6,-64 8,-48 12,-32 16,-24$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-384=-383 2-192=-190 3-128=-125 4-96=-92 6-64=-58 8-48=-40 12-32=-20 16-24=-8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -40.

$$a=-48 b=8$$

Перепишіть 3x^{2}-40x-128 як \left(3x^{2}-48x\right)+\left(8x-128\right).

$$\left(3x^{2}-48x\right)+\left(8x-128\right)$$

3x на першій та 8 в друге групу.

$$3x\left(x-16\right)+8\left(x-16\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-16, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-16\right)\left(3x+8\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-16=0 та 3x+8=0.

$$x=16 x=-\frac{8}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-40x-128=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -40 замість b і -128 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\left(-128\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -40 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\left(-128\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\left(-128\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -128.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1536}}{2\times 3}$$

Додайте 1600 до 1536.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3136}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 3136.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±56}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -40, дорівнює 40.

$$x=\frac{40±56}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{40±56}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{40±56}{6} за додатного значення ±. Додайте 40 до 56.

$$x=\frac{96}{6}$$

Розділіть 96 на 6.

$$x=16$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{40±56}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 56 від 40.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-16}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=16 x=-\frac{8}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x-128=0$$

Додайте 128 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-40x-128-\left(-128\right)=-\left(-128\right)$$

Якщо відняти -128 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-40x=-\left(-128\right)$$

Відніміть -128 від 0.

$$3x^{2}-40x=128$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=\frac{128}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=\frac{128}{3}$$

Поділіть -\frac{40}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{20}{3}. Потім додайте -\frac{20}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{20}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{128}{3}+\frac{400}{9}$$

Щоб додати \frac{128}{3} до \frac{400}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{784}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{784}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{784}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{28}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{28}{3}$$

Додайте \frac{20}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=16 x=-\frac{8}{3}$$