Розв'яжіть 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -20 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Піднесіть -20 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Додайте 400 до -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -20, дорівнює 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} за додатного значення ±. Додайте 20 до 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Розділіть 20+2\sqrt{97} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{97} від 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Розділіть 20-2\sqrt{97} на 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Поділіть -\frac{20}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{10}{3}. Потім додайте -\frac{10}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{10}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Щоб додати -\frac{1}{3} до \frac{100}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Додайте \frac{10}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$