Розв'яжіть 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-16. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -2.

$$a=-8 b=6$$

Перепишіть 3x^{2}-2x-16 як \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

x на першій та 2 в друге групу.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-8, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-8=0 та x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -2 замість b і -16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±14}{6} за додатного значення ±. Додайте 2 до 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{16}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{8}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±14}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Розділіть -12 на 6.

$$x=-2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Додайте 16 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Якщо відняти -16 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Відніміть -16 від 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Щоб додати \frac{16}{3} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$