Розв'яжіть 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=-3 b=1$$

Перепишіть 3x^{2}-2x-1 як \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки 3x в 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -2 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4}{6} за додатного значення ±. Додайте 2 до 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Розділіть 6 на 6.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 4 від 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Щоб додати \frac{1}{3} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$