Розв'яжіть 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -2 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Розділіть 2+2i\sqrt{11} на 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{11} від 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Розділіть 2-2i\sqrt{11} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Щоб додати -\frac{4}{3} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$