Розв'яжіть 3x^2-2x+1=100

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 100$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{298} + 1}{3} \approx 6,087558834$$

$$x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}\approx -5,420892167$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-2x+1=100$$

Відніміть 100 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-2x+1-100=100-100$$

Якщо відняти 100 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-2x+1-100=0$$

Відніміть 100 від 1.

$$3x^{2}-2x-99=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -2 замість b і -99 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -99.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1188}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до 1188.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1192}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{298}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{298}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2\sqrt{298}.

$$x=\frac{2\sqrt{298}+2}{6}$$

Розділіть 2+2\sqrt{298} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{298} від 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{298}}{6}$$

Розділіть 2-2\sqrt{298} на 6.

$$x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+1=100$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-2x+1-1=100-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-2x=100-1$$

Відніміть 1 від 100.

$$3x^{2}-2x=99$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{99}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{99}{3}$$

Розділіть 99 на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=33$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=33+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=33+\frac{1}{9}$$

Додайте 33 до \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{298}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{298}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{298}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{298}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{298}}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$