Розв'яжіть 3x^2-10x-6=0

$$3 x ^ { 2 } - 10 x - 6 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{43} + 5}{3} \approx 3,852479508$$

$$x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}\approx -0,519146175$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-10x-6=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -10 замість b і -6 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -10 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -6.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+72}}{2\times 3}$$

Додайте 100 до 72.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{172}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 172.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -10, дорівнює 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6} за додатного значення ±. Додайте 10 до 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}+10}{6}$$

Розділіть 10+2\sqrt{43} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{43} від 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{43}}{6}$$

Розділіть 10-2\sqrt{43} на 6.

$$x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-6=0$$

Додайте 6 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-10x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Якщо відняти -6 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-6\right)$$

Відніміть -6 від 0.

$$3x^{2}-10x=6$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{6}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{6}{3}$$

Розділіть 6 на 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=2$$

Поділіть -\frac{10}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{3}. Потім додайте -\frac{5}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=2+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=2+\frac{25}{9}$$

Додайте 2 до \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{43}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{43}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{43}}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{43}}{3}$$

Додайте \frac{5}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$