Розв'яжіть 3x^2+x-5=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 5 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{61} - 1}{6} \approx 1,135041613$$

$$x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}\approx -1,468374946$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+x-5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 1 замість b і -5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Додайте 1 до 60.

$$x=\frac{-1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{61}.

$$x=\frac{\sqrt{61}-1}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{61} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{61}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-5=0$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

Відніміть -5 від 0.

$$3x^{2}+x=5$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{5}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{5}{3}$$

Поділіть \frac{1}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{6}. Потім додайте \frac{1}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Щоб додати \frac{5}{3} до \frac{1}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Відніміть \frac{1}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{61}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}$$