Розв'яжіть 3x^2+x-2<0

$$3 x ^ { 2 } + x - 2 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+x-2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 3 на a, 1 – на b, а -2 – на c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-1±5}{6}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±5}{6} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{2}{3} x=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{2}{3} і x+1 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{2}{3} має додатне значення, а x+1 – від’ємне.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+1<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+1 має додатне значення, а x-\frac{2}{3} – від’ємне.

$$x+1>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$