Розв'яжіть 3x^2+x+2=0

$$3 x ^ { 2 } + x + 2 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6}\approx -0,166666667+0,799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,799305254i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 1 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\times 2}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 3}$$

Додайте 1 до -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{6} за додатного значення ±. Додайте -1 до i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{23} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+x+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+x=-2$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Поділіть \frac{1}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{6}. Потім додайте \frac{1}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Щоб додати -\frac{2}{3} до \frac{1}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{23}{36}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Відніміть \frac{1}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$