Розв'яжіть 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 4 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Додайте 16 до 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 28.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} за додатного значення ±. Додайте -4 до 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Розділіть -4+2\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{7} від -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Розділіть -4-2\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Поділіть \frac{4}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{2}{3}. Потім додайте \frac{2}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{2}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Щоб додати \frac{1}{3} до \frac{4}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Відніміть \frac{2}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$