Розв'яжіть 3x^2+3x+3=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 3 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+3x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 3 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 3}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36}}{2\times 3}$$

Додайте 9 до -36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -27.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{6} за додатного значення ±. Додайте -3 до 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{6}$$

Розділіть -3+3i\sqrt{3} на 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 3i\sqrt{3} від -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{6}$$

Розділіть -3-3i\sqrt{3} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+3x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+3x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{3}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{3}{3}$$

Розділіть 3 на 3.

$$x^{2}+x=-\frac{3}{3}$$

Розділіть -3 на 3.

$$x^{2}+x=-1$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Додайте -1 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$