Розв'яжіть 3x^2+24x+49=0

$$3 x ^ { 2 } + 24 x + 49 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4+0,577350269i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4-0,577350269i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 24 замість b і 49 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Піднесіть 24 до квадрата.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-12\times 49}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 49.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-588}}{2\times 3}$$

Додайте 576 до -588.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-12}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -12.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} за додатного значення ±. Додайте -24 до 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-24+2\sqrt{3}i}{6}$$

Розділіть -24+2i\sqrt{3} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{3} від -24.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-24}{6}$$

Розділіть -24-2i\sqrt{3} на 6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Відніміть 49 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+24x+49-49=-49$$

Якщо відняти 49 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+24x=-49$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+24x}{3}=-\frac{49}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{24}{3}x=-\frac{49}{3}$$

Розділіть 24 на 3.

$$x^{2}+8x=-\frac{49}{3}$$

Поділіть 8 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 4. Потім додайте 4 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-\frac{49}{3}+4^{2}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{49}{3}+16$$

Додайте -\frac{49}{3} до 16.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{1}{3}$$

Розкладіть x^{2}+8x+16 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-\frac{1}{3}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{3}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+4=\frac{\sqrt{3}i}{3} x+4=-\frac{\sqrt{3}i}{3}$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$