Розв'яжіть 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 2 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Розділіть -2+2i\sqrt{2} на 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{2} від -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Розділіть -2-2i\sqrt{2} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Поділіть \frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{3}. Потім додайте \frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Щоб додати -\frac{1}{3} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Відніміть \frac{1}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$