Розв'яжіть 3x^2+2-(5x-50)^2=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 - ( 5 x - 50 ) ^ { 2 } = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{1886} + 125}{11} \approx 15,311645591$$

$$x = \frac{125 - \sqrt{1886}}{11} \approx 7,415627136$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(5x-50\right)^{2}.

$$3x^{2}+2-\left(25x^{2}-500x+2500\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу 25x^{2}-500x+2500, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x^{2}+2-25x^{2}+500x-2500=0$$

Додайте 3x^{2} до -25x^{2}, щоб отримати -22x^{2}.

$$-22x^{2}+2+500x-2500=0$$

Відніміть 2500 від 2, щоб отримати -2498.

$$-22x^{2}-2498+500x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-22x^{2}+500x-2498=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -22 замість a, 500 замість b і -2498 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-500±\sqrt{500^{2}-4\left(-22\right)\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Піднесіть 500 до квадрата.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000-4\left(-22\right)\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Помножте -4 на -22.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000+88\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Помножте 88 на -2498.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000-219824}}{2\left(-22\right)}$$

Додайте 250000 до -219824.

$$x=\frac{-500±\sqrt{30176}}{2\left(-22\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 30176.

$$x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{2\left(-22\right)}$$

Помножте 2 на -22.

$$x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44} за додатного значення ±. Додайте -500 до 4\sqrt{1886}.

$$x=\frac{4\sqrt{1886}-500}{-44}$$

Розділіть -500+4\sqrt{1886} на -44.

$$x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{1886} від -500.

$$x=\frac{-4\sqrt{1886}-500}{-44}$$

Розділіть -500-4\sqrt{1886} на -44.

$$x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11} x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(5x-50\right)^{2}.

$$3x^{2}+2-\left(25x^{2}-500x+2500\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу 25x^{2}-500x+2500, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3x^{2}+2-25x^{2}+500x-2500=0$$

Додайте 3x^{2} до -25x^{2}, щоб отримати -22x^{2}.

$$-22x^{2}+2+500x-2500=0$$

Відніміть 2500 від 2, щоб отримати -2498.

$$-22x^{2}-2498+500x=0$$

Додайте 2498 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$-22x^{2}+500x=2498$$

Розділіть обидві сторони на -22.

$$\frac{-22x^{2}+500x}{-22}=\frac{2498}{-22}$$

Ділення на -22 скасовує множення на -22.

$$x^{2}+\frac{500}{-22}x=\frac{2498}{-22}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{500}{-22} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x=\frac{2498}{-22}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2498}{-22} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x=-\frac{1249}{11}$$

Поділіть -\frac{250}{11} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{125}{11}. Потім додайте -\frac{125}{11} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\left(-\frac{125}{11}\right)^{2}=-\frac{1249}{11}+\left(-\frac{125}{11}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{125}{11} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}=-\frac{1249}{11}+\frac{15625}{121}$$

Щоб додати -\frac{1249}{11} до \frac{15625}{121}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}=\frac{1886}{121}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{125}{11}\right)^{2}=\frac{1886}{121}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{125}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1886}{121}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{125}{11}=\frac{\sqrt{1886}}{11} x-\frac{125}{11}=-\frac{\sqrt{1886}}{11}$$

Додайте \frac{125}{11} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11} x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11}$$