Розв'яжіть 3x+y=5text{and}y-x=1

$$3 x + y = 5 \text { and } y - x = 1$$

Знайдіть x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x+y=5,-x+y=1$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x+y=5$$

Відніміть y від обох сторін цього рівняння.

$$3x=-y+5$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Підставте \frac{-y+5}{3} замість x в іншому рівнянні: -x+y=1.

$$-\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=1$$

Помножте -1 на \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}+y=1$$

Додайте \frac{y}{3} до y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}=1$$

Додайте \frac{5}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$\frac{4}{3}y=\frac{8}{3}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{4}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{3}$$

Помножте -\frac{1}{3} на 2.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Щоб додати \frac{5}{3} до -\frac{2}{3}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=1$$

Систему розв’язано.

$$x=1,y=2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x+y=5,-x+y=1$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=1,y=2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x+y=5,-x+y=1$$

Знайдіть різницю -x+y=1 і 3x+y=5. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$3x+x+y-y=5-1$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$3x+x=5-1$$

Додайте 3x до x.

$$4x=5-1$$

Додайте 5 до -1.

$$4x=4$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=1$$

Підставте 1 замість x у рівняння -x+y=1. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$-1+y=1$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$y=2$$

Систему розв’язано.

$$x=1,y=2$$