Розв'яжіть 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Знайдіть x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 6y з обох сторін.

$$3x+9-6y=0$$

Відніміть 9 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$3x-6y=-9$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте 12 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$-2x-2y=12$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x-6y=-9$$

Додайте 6y до обох сторін цього рівняння.

$$3x=6y-9$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на 6y-9.

$$x=2y-3$$

Підставте 2y-3 замість x в іншому рівнянні: -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Помножте -2 на 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Додайте -4y до -2y.

$$-6y+6=12$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$-6y=6$$

Розділіть обидві сторони на -6.

$$y=-1$$

Підставте -1 замість y у рівняння x=2y-3. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Помножте 2 на -1.

$$x=-2-3$$

Додайте -3 до -2.

$$x=-5$$

Систему розв’язано.

$$x=-5,y=-1$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 6y з обох сторін.

$$3x+9-6y=0$$

Відніміть 9 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$3x-6y=-9$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте 12 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$-2x-2y=12$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=-5,y=-1$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 6y з обох сторін.

$$3x+9-6y=0$$

Відніміть 9 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$3x-6y=-9$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте 12 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$-2x-2y=12$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Щоб отримати рівність між 3x і -2x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на -2, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Виконайте спрощення.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Знайдіть різницю -6x-6y=36 і -6x+12y=18. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Додайте -6x до 6x. Члени -6x та 6x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$12y+6y=18-36$$

Додайте 12y до 6y.

$$18y=18-36$$

Додайте 18 до -36.

$$18y=-18$$

Розділіть обидві сторони на 18.

$$y=-1$$

Підставте -1 замість y у рівняння -2x-2y=12. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Помножте -2 на -1.

$$-2x+2=12$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$-2x=10$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$x=-5$$

Систему розв’язано.

$$x=-5,y=-1$$