Розв'яжіть 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Знайдіть x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x+5y=8$$

Відніміть 5y від обох сторін цього рівняння.

$$3x=-5y+8$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Підставте \frac{-5y+8}{3} замість x в іншому рівнянні: x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Додайте -\frac{5y}{3} до -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Відніміть \frac{8}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на -\frac{11}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=1$$

Підставте 1 замість y у рівняння x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Щоб додати \frac{8}{3} до -\frac{5}{3}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=1$$

Систему розв’язано.

$$x=1,y=1$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=1,y=1$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Щоб отримати рівність між 3x і x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Виконайте спрощення.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Знайдіть різницю 3x-6y=-3 і 3x+5y=8. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Додайте 3x до -3x. Члени 3x та -3x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$5y+6y=8+3$$

Додайте 5y до 6y.

$$11y=8+3$$

Додайте 8 до 3.

$$11y=11$$

Розділіть обидві сторони на 11.

$$y=1$$

Підставте 1 замість y у рівняння x-2y=-1. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x-2=-1$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$x=1$$

Систему розв’язано.

$$x=1,y=1$$