Розв'яжіть 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Відніміть 1 від 5, щоб отримати 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx+4. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -4.

$$-1,4 -2,2$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 3.

$$a=4 b=-1$$

Перепишіть -x^{2}+3x+4 як \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Винесіть за дужки -x в першій і -1 у другій групі.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-4=0 і -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Відніміть 1 від 5, щоб отримати 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 3 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 9 до 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±5}{-2} за додатного значення ±. Додайте -3 до 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Розділіть 2 на -2.

$$x=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±5}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Розділіть -8 на -2.

$$x=4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1 x=4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Відніміть 5 з обох сторін.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Відніміть 5 від 1, щоб отримати -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Розділіть 3 на -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Розділіть -4 на -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Додайте 4 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=4 x=-1$$