Розв'яжіть 3v^2-8v-35

$$3 v ^ { 2 } - 8 v - 35$$

Розкласти на множники

$$\left(v-5\right)\left(3v+7\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 3v^{2}+av+bv-35. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-8 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -8.

$$a=-15 b=7$$

Перепишіть 3v^{2}-8v-35 як \left(3v^{2}-15v\right)+\left(7v-35\right).

$$\left(3v^{2}-15v\right)+\left(7v-35\right)$$

3v на першій та 7 в друге групу.

$$3v\left(v-5\right)+7\left(v-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член v-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(v-5\right)\left(3v+7\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$3v^{2}-8v-35=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$v=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$v=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$v=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -35.

$$v=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+420}}{2\times 3}$$

Додайте 64 до 420.

$$v=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 484.

$$v=\frac{-\left(-8\right)±22}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$v=\frac{8±22}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$v=\frac{8±22}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{8±22}{6} за додатного значення ±. Додайте 8 до 22.

$$v=\frac{30}{6}$$

Розділіть 30 на 6.

$$v=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння v=\frac{8±22}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 22 від 8.

$$v=-\frac{14}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{6} до нескоротного вигляду.

$$v=-\frac{7}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 5 на x_{1} та -\frac{7}{3} на x_{2}.

$$3v^{2}-8v-35=3\left(v-5\right)\left(v-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$3v^{2}-8v-35=3\left(v-5\right)\left(v+\frac{7}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{7}{3} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$3v^{2}-8v-35=3\left(v-5\right)\times \frac{3v+7}{3}$$

Відкиньте 3, тобто найбільший спільний дільник для 3 й 3.

$$3v^{2}-8v-35=\left(v-5\right)\left(3v+7\right)$$

Обчислити

$$\left(v-5\right)\left(3v+7\right)$$