Розв'яжіть 3t^2-7t-1=0

$$3 t ^ { 2 } - 7 t - 1 = 0$$

Знайдіть t

$$t = \frac{\sqrt{61} + 7}{6} \approx 2,468374946$$

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}\approx -0,135041613$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3t^{2}-7t-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -7 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -1.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\times 3}$$

Додайте 49 до 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{7±\sqrt{61}}{6} за додатного значення ±. Додайте 7 до \sqrt{61}.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{7±\sqrt{61}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{61} від 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3t^{2}-7t-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$3t^{2}-7t-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$3t^{2}-7t=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$3t^{2}-7t=1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3t^{2}-7t}{3}=\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t=\frac{1}{3}$$

Поділіть -\frac{7}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{6}. Потім додайте -\frac{7}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

Щоб додати \frac{1}{3} до \frac{49}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} t-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Додайте \frac{7}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$