Розв'яжіть 3t^2-10t-20=0

$$3 t ^ { 2 } - 10 t - 20 = 0$$

Знайдіть t

$$t = \frac{\sqrt{85} + 5}{3} \approx 4,739848152$$

$$t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}\approx -1,406514819$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3t^{2}-10t-20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -10 замість b і -20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -10 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -20.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+240}}{2\times 3}$$

Додайте 100 до 240.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{340}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 340.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -10, дорівнює 10.

$$t=\frac{10±2\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6} за додатного значення ±. Додайте 10 до 2\sqrt{85}.

$$t=\frac{2\sqrt{85}+10}{6}$$

Розділіть 10+2\sqrt{85} на 6.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{85} від 10.

$$t=\frac{10-2\sqrt{85}}{6}$$

Розділіть 10-2\sqrt{85} на 6.

$$t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3} t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3t^{2}-10t-20=0$$

Додайте 20 до обох сторін цього рівняння.

$$3t^{2}-10t-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Якщо відняти -20 від самого себе, залишиться 0.

$$3t^{2}-10t=-\left(-20\right)$$

Відніміть -20 від 0.

$$3t^{2}-10t=20$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3t^{2}-10t}{3}=\frac{20}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t=\frac{20}{3}$$

Поділіть -\frac{10}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{3}. Потім додайте -\frac{5}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9}=\frac{20}{3}+\frac{25}{9}$$

Щоб додати \frac{20}{3} до \frac{25}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9}=\frac{85}{9}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{85}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{85}}{3} t-\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{85}}{3}$$

Додайте \frac{5}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3} t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$