Розв'яжіть 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Знайдіть q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3q^{2}+aq+bq+16. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -19.

$$a=-16 b=-3$$

Перепишіть 3q^{2}-19q+16 як \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Винесіть за дужки q в першій і -1 у другій групі.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3q-16, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 3q-16=0 і q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -19 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Піднесіть -19 до квадрата.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Додайте 361 до -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -19, дорівнює 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{19±13}{6} за додатного значення ±. Додайте 19 до 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{32}{6} до нескоротного вигляду.

$$q=\frac{16}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{19±13}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Розділіть 6 на 6.

$$q=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Поділіть -\frac{19}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{19}{6}. Потім додайте -\frac{19}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{19}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Щоб додати -\frac{16}{3} до \frac{361}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Розкладіть q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Додайте \frac{19}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$