Розв'яжіть 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Знайдіть p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3p^{2}+ap+bp+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -8.

$$a=-5 b=-3$$

Перепишіть 3p^{2}-8p+5 як \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

p на першій та -1 в друге групу.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3p-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3p-5=0 та p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -8 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Додайте 64 до -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{8±2}{6} за додатного значення ±. Додайте 8 до 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{6} до нескоротного вигляду.

$$p=\frac{5}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{8±2}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2 від 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Розділіть 6 на 6.

$$p=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Поділіть -\frac{8}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{4}{3}. Потім додайте -\frac{4}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Щоб додати -\frac{5}{3} до \frac{16}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Розкладіть p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Додайте \frac{4}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$