Розв'яжіть 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Знайдіть n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3n^{2}+an+bn-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -4.

$$a=-9 b=5$$

Перепишіть 3n^{2}-4n-15 як \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

3n на першій та 5 в друге групу.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член n-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть n-3=0 та 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -4 замість b і -15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Додайте 16 до 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{4±14}{6} за додатного значення ±. Додайте 4 до 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Розділіть 18 на 6.

$$n=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{4±14}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{6} до нескоротного вигляду.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Додайте 15 до обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Якщо відняти -15 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Відніміть -15 від 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Розділіть 15 на 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Поділіть -\frac{4}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{3}. Потім додайте -\frac{2}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Додайте 5 до \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Розкладіть n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Додайте \frac{2}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$