Розв'яжіть 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Знайдіть n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Відніміть 5 від -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 47 замість b і -237 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 47 до квадрата.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Додайте 2209 до 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} за додатного значення ±. Додайте -47 до \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{5053} від -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Додайте 232 до обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Якщо відняти -232 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Відніміть -232 від 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Розділіть 237 на 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Поділіть \frac{47}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{47}{6}. Потім додайте \frac{47}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{47}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Додайте 79 до \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Розкладіть n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Відніміть \frac{47}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$