Розв'яжіть 3n^2+2n-21=0

$$3 n ^ { 2 } + 2 n - 21 = 0$$

Знайдіть n

$$n=-3$$

$$n = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3n^{2}+an+bn-21. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=2 ab=3\left(-21\right)=-63$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 2.

$$a=-7 b=9$$

Перепишіть 3n^{2}+2n-21 як \left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right).

$$\left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right)$$

n на першій та 3 в друге групу.

$$n\left(3n-7\right)+3\left(3n-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3n-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3n-7\right)\left(n+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3n-7=0 та n+3=0.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 2 замість b і -21 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -21.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до 252.

$$n=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$n=\frac{-2±16}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$n=\frac{-2±16}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-2±16}{6} за додатного значення ±. Додайте -2 до 16.

$$n=\frac{14}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{14}{6} до нескоротного вигляду.

$$n=\frac{7}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-2±16}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від -2.

$$n=-\frac{18}{6}$$

Розділіть -18 на 6.

$$n=-3$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Додайте 21 до обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}+2n-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Якщо відняти -21 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}+2n=-\left(-21\right)$$

Відніміть -21 від 0.

$$3n^{2}+2n=21$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3n^{2}+2n}{3}=\frac{21}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=\frac{21}{3}$$

Розділіть 21 на 3.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=7$$

Поділіть \frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{3}. Потім додайте \frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Додайте 7 до \frac{1}{9}.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Розкладіть n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{1}{3}=\frac{8}{3} n+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Відніміть \frac{1}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$