Розв'яжіть 3n^2+137n-1010=0

$$3 n ^ { 2 } + 137 n - 1010 = 0$$

Знайдіть n

$$n = \frac{\sqrt{30889} - 137}{6} \approx 6,458777853$$

$$n=\frac{-\sqrt{30889}-137}{6}\approx -52,12544452$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3n^{2}+137n-1010=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 137 замість b і -1010 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-137±\sqrt{137^{2}-4\times 3\left(-1010\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 137 до квадрата.

$$n=\frac{-137±\sqrt{18769-4\times 3\left(-1010\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$n=\frac{-137±\sqrt{18769-12\left(-1010\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -1010.

$$n=\frac{-137±\sqrt{18769+12120}}{2\times 3}$$

Додайте 18769 до 12120.

$$n=\frac{-137±\sqrt{30889}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$n=\frac{-137±\sqrt{30889}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-137±\sqrt{30889}}{6} за додатного значення ±. Додайте -137 до \sqrt{30889}.

$$n=\frac{\sqrt{30889}-137}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-137±\sqrt{30889}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{30889} від -137.

$$n=\frac{-\sqrt{30889}-137}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{\sqrt{30889}-137}{6} n=\frac{-\sqrt{30889}-137}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+137n-1010=0$$

Додайте 1010 до обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}+137n-1010-\left(-1010\right)=-\left(-1010\right)$$

Якщо відняти -1010 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}+137n=-\left(-1010\right)$$

Відніміть -1010 від 0.

$$3n^{2}+137n=1010$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3n^{2}+137n}{3}=\frac{1010}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$n^{2}+\frac{137}{3}n=\frac{1010}{3}$$

Поділіть \frac{137}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{137}{6}. Потім додайте \frac{137}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+\frac{137}{3}n+\left(\frac{137}{6}\right)^{2}=\frac{1010}{3}+\left(\frac{137}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{137}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+\frac{137}{3}n+\frac{18769}{36}=\frac{1010}{3}+\frac{18769}{36}$$

Щоб додати \frac{1010}{3} до \frac{18769}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$n^{2}+\frac{137}{3}n+\frac{18769}{36}=\frac{30889}{36}$$

Розкладіть n^{2}+\frac{137}{3}n+\frac{18769}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{137}{6}\right)^{2}=\frac{30889}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{137}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{30889}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{137}{6}=\frac{\sqrt{30889}}{6} n+\frac{137}{6}=-\frac{\sqrt{30889}}{6}$$

Відніміть \frac{137}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{\sqrt{30889}-137}{6} n=\frac{-\sqrt{30889}-137}{6}$$