Розв'яжіть 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Знайдіть n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 8 з обох сторін.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3n^{2}+an+bn-8. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 10.

$$a=-2 b=12$$

Перепишіть 3n^{2}+10n-8 як \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

n на першій та 4 в друге групу.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3n-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3n-2=0 та n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3n^{2}+10n=8$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 10 замість b і -8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 10 до квадрата.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Додайте 100 до 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-10±14}{6} за додатного значення ±. Додайте -10 до 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{4}{6} до нескоротного вигляду.

$$n=\frac{2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-10±14}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Розділіть -24 на 6.

$$n=-4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Поділіть \frac{10}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{3}. Потім додайте \frac{5}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Щоб додати \frac{8}{3} до \frac{25}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Розкладіть n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Відніміть \frac{5}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$