Розв'яжіть 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Знайдіть b

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -8 замість b і -15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Додайте 64 до 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 244.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} за додатного значення ±. Додайте 8 до 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Розділіть 8+2\sqrt{61} на 6.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{61} від 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Розділіть 8-2\sqrt{61} на 6.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Додайте 15 до обох сторін цього рівняння.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Якщо відняти -15 від самого себе, залишиться 0.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

Відніміть -15 від 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

Розділіть 15 на 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Поділіть -\frac{8}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{4}{3}. Потім додайте -\frac{4}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Додайте 5 до \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Розкладіть b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Додайте \frac{4}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$