Розв'яжіть 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Знайдіть z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді z^{2}+az+bz+2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=1 b=2$$

Перепишіть z^{2}+3z+2 як \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

z на першій та 2 в друге групу.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член z+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть z+1=0 та z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 9 замість b і 6 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Додайте 81 до -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-9±3}{6} за додатного значення ±. Додайте -9 до 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Розділіть -6 на 6.

$$z=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-9±3}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Розділіть -12 на 6.

$$z=-2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=-1 z=-2$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Якщо відняти 6 від самого себе, залишиться 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Розділіть 9 на 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Розділіть -6 на 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Поділіть 3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{2}. Потім додайте \frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Додайте -2 до \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Розкладіть z^{2}+3z+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Відніміть \frac{3}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$z=-1 z=-2$$