Розв'яжіть 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Розкласти на множники

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Покрокове розв’язання

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -40, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 3. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-2$$

За теоремою подільності многочлен ділиться на x-k для кожного k, що являє собою корінь цього многочлена. Розділіть 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 на x+2, щоб отримати 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -20, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 3. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=\frac{5}{3}$$

За теоремою подільності многочлен ділиться на x-k для кожного k, що являє собою корінь цього многочлена. Розділіть 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 на 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5, щоб отримати x^{2}+4. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{2}+4=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 0 – на b, а 4 – на c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Многочлен x^{2}+4 не розкладається на співмножники, бо не має раціональних коренів.

$$x^{2}+4$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Обчислити

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$