Розв'яжіть 3x^2-5x-4=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-4=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 5}{6} \approx 2,257333958$$

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\approx -0,590667291$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -5 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+48}}{2\times 3}$$

Додайте 25 до 48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{73} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Якщо відняти -4 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-4\right)$$

Відніміть -4 від 0.

$$3x^{2}-5x=4$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{4}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{3}$$

Поділіть -\frac{5}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{6}. Потім додайте -\frac{5}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Щоб додати \frac{4}{3} до \frac{25}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{73}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

Додайте \frac{5}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$