Розв'яжіть 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-372. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-36 b=31$$

Перепишіть 3x^{2}-5x-372 як \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Винесіть за дужки 3x в першій і 31 у другій групі.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-12, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-12=0 і 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -5 замість b і -372 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Додайте 25 до 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±67}{6} за додатного значення ±. Додайте 5 до 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Розділіть 72 на 6.

$$x=12$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±67}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 67 від 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-62}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Додайте 372 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Якщо відняти -372 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Відніміть -372 від 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Розділіть 372 на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Поділіть -\frac{5}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{6}. Потім додайте -\frac{5}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Додайте 124 до \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Додайте \frac{5}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$