Розв'яжіть 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-250. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-30 b=25$$

Перепишіть 3x^{2}-5x-250 як \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

3x на першій та 25 в друге групу.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-10, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-10=0 та 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -5 замість b і -250 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Додайте 25 до 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±55}{6} за додатного значення ±. Додайте 5 до 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Розділіть 60 на 6.

$$x=10$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±55}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 55 від 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-50}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Додайте 250 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Якщо відняти -250 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Відніміть -250 від 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Поділіть -\frac{5}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{6}. Потім додайте -\frac{5}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Щоб додати \frac{250}{3} до \frac{25}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Додайте \frac{5}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$