Розв'яжіть 3x^2-5x+42=10

$$3 { x }^{ 2 } -5x+42 = 10$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}\approx 0,833333333+3,157882554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}\approx 0,833333333-3,157882554i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Відніміть 10 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-5x+42-10=10-10$$

Якщо відняти 10 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-5x+42-10=0$$

Відніміть 10 від 42.

$$3x^{2}-5x+32=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -5 замість b і 32 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 32}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-384}}{2\times 3}$$

Додайте 25 до -384.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-359}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -359.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} за додатного значення ±. Додайте 5 до i\sqrt{359}.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{359} від 5.

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Відніміть 42 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-5x+42-42=10-42$$

Якщо відняти 42 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-5x=10-42$$

Відніміть 42 від 10.

$$3x^{2}-5x=-32$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{32}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Поділіть -\frac{5}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{6}. Потім додайте -\frac{5}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

Щоб додати -\frac{32}{3} до \frac{25}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{359}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{359}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{359}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{359}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{359}i}{6}$$

Додайте \frac{5}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$