Розв'яжіть 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-60. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -31.

$$a=-36 b=5$$

Перепишіть 3x^{2}-31x-60 як \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

3x на першій та 5 в друге групу.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-12, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-12=0 та 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -31 замість b і -60 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -31 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Додайте 961 до 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -31, дорівнює 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{31±41}{6} за додатного значення ±. Додайте 31 до 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Розділіть 72 на 6.

$$x=12$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{31±41}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 41 від 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Додайте 60 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Якщо відняти -60 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Відніміть -60 від 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Розділіть 60 на 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Поділіть -\frac{31}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{31}{6}. Потім додайте -\frac{31}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{31}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Додайте 20 до \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Додайте \frac{31}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$