Розв'яжіть 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -2 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Додайте 4 до 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} за додатного значення ±. Додайте 2 до 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Розділіть 2+4\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{7} від 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Розділіть 2-4\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Розділіть 9 на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Додайте 3 до \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$