Розв'яжіть 3x^2-15x+16=0

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3,457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1,542572892$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -15 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 16.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

Додайте 225 до -192.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} за додатного значення ±. Додайте 15 до \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

Розділіть 15+\sqrt{33} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{33} від 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

Розділіть 15-\sqrt{33} на 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-15x=-16$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

Розділіть -15 на 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

Щоб додати -\frac{16}{3} до \frac{25}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$