Розв'яжіть 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-8. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -10.

$$a=-12 b=2$$

Перепишіть 3x^{2}-10x-8 як \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Винесіть за дужки 3x в першій і 2 у другій групі.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-4=0 і 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -10 замість b і -8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть -10 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Додайте 100 до 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -10, дорівнює 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{10±14}{6} за додатного значення ±. Додайте 10 до 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Розділіть 24 на 6.

$$x=4$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{10±14}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-4}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Додайте 8 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Якщо відняти -8 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Відніміть -8 від 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Поділіть -\frac{10}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{3}. Потім додайте -\frac{5}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Щоб додати \frac{8}{3} до \frac{25}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Додайте \frac{5}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$