Розв'яжіть 3x^2+4x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+1=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=1 b=3$$

Перепишіть 3x^{2}+4x+1 як \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Винесіть за дужки x в 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Винесіть за дужки спільний член 3x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x+1=0 та x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 4 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Додайте 16 до -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2}{6} за додатного значення ±. Додайте -4 до 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2 від -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Розділіть -6 на 6.

$$x=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Поділіть \frac{4}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{2}{3}. Потім додайте \frac{2}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{2}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Щоб додати -\frac{1}{3} до \frac{4}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Відніміть \frac{2}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$