Розв'яжіть 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 3 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Додайте 9 до -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} за додатного значення ±. Додайте -3 до i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Розділіть -3+i\sqrt{51} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{51} від -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Розділіть -3-i\sqrt{51} на 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Розділіть 3 на 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати -\frac{5}{3} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$